基于熵权法-TOPSIS的多目标优化决策分析

Posted May 19, 2025 Updated May 20, 2025

By Haoxiang Lu

30 min read

在现实世界的决策问题中，往往需要同时考虑多个相互冲突或关联的目标，这类问题被称为多目标优化决策问题。如何科学、客观地评价不同方案的优劣，并从中选出最优方案，是决策分析领域的核心议题。熵权法（Entropy Weight Method, EWM）作为一种客观赋权方法，能够依据数据本身的波动性确定指标权重，有效避免主观因素的干扰。TOPSIS法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）则是一种经典的逼近理想解的排序方法，通过计算评价对象与最优、最劣方案的相对接近程度来进行排序。

将熵权法与TOPSIS法相结合，首先利用熵权法确定各评价指标的客观权重，然后将这些权重应用于TOPSIS法中，对备选方案进行综合评价和排序。这种组合方法既发挥了熵权法客观赋权的优势，又利用了TOPSIS法对多方案进行综合排序的系统性，在项目评估、绩效评价、风险分析等多个领域得到了广泛应用。

熵权法

熵权法的主要目的是基于数据本身的特性对指标体系进行客观赋权。

基本原理： 熵权法是一种基于信息熵的客观赋权方法。信息熵用于度量系统的不确定性或混乱程度。在多指标评价中：

若指标的观测值差异较大（变异程度大），则该指标包含更多有用信息，应赋予较大权重，其信息熵较小
若指标的观测值差异较小（变异程度小），则该指标对决策的区分能力弱，应赋予较小权重，其信息熵较大

熵权法通过计算各指标的信息熵来确定权重。指标的信息熵越小，其效用值和权重就越大；反之则越小。这种方法完全依赖数据的客观属性。

计算步骤：

数据准备 假设有 $n$ 个评价对象（样本），$m$ 个评价指标，构成原始数据矩阵 $X$： $\begin{equation} X=\left[\begin{array}{cccc} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1 m} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2 m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n 1} & x_{n 2} & \cdots & x_{n m} \end{array}\right] \end{equation}$ 其中，$x_{ij}$ 表示第 $i$ 个评价对象在第 $j$ 个指标下的原始值。对于某项指标，其值的离散程度越大，则该指标在综合评价中所起的作用就越大。如果该指标的所有评价值都相等，则该指标在评价中不起作用，权重应为0。
数据预处理（正向化与标准化） 为消除因量纲不同及指标方向不一致对评价结果的影响，需要对各指标进行正向化和标准化处理，将所有指标转化为数值越大越优，且取值范围统一（通常为[0, 1]）的形态。指标类型一般有三种：
- 正向指标（效益型指标）： 越大越好，如收入、产量、评分、满意度等。
- 负向指标（成本型指标）： 越小越好，如成本、能耗、延误时间、故障率等。
- 适度指标（区间型指标）： 指标值落在某个特定区间或接近某个特定值最好，如水中的PH值（越接近7越好）、温度（某个范围最佳）。
常用的处理方法是极差法（Min-Max Normalization），它同时完成正向化和标准化。处理后的矩阵记为 $Z’$，其中元素为 $z’_{ij}$。
- 正向指标： $\begin{equation} z'_{i j}=\frac{x_{i j}-x_j^{\min }}{x_j^{\max }-x_j^{\min }} \end{equation}$ 其中 $x_j^{\min }$ 和 $x_j^{\max }$ 分别为第 $j$ 个指标在所有对象中的最小值和最大值。
- 负向指标： $\begin{equation} z'_{i j}=\frac{x_j^{\max }-x_{i j}}{x_j^{\max }-x_j^{\min }} \end{equation}$
- 适度指标：
  - 若最佳值为一个点 $x_{best_j}$，可按如下公式转换： $\begin{equation} z'_{i j}=1-\frac{\left|x_{i j}-x_{best_j}\right|}{\max_k \left(\left|x_{k j}-x_{best_j}\right|\right)} \end{equation}$
  - 若最佳为一个区间 $[a_j, b_j]$，则： $\begin{equation} z'_{i j}= \begin{cases} 1-\frac{a_j-x_{i j}}{\max \left(a_j-x_j^{\min }, x_j^{\max }-b_j\right)} & , x_{i j}<a_j \\ 1 & , a_j \leq x_{i j} \leq b_j \\ 1-\frac{x_{i j}-b_j}{\max \left(a_j-x_j^{\min }, x_j^{\max }-b_j\right)} & , x_{i j}>b_j \end{cases} \end{equation}$
  处理后，所有 $z’_{ij}$ 的值都落在 $[0,1]$ 区间内，且都是正向化的。若出现 ${z’_{{ij}}=0}$ 的情况，在后续计算信息熵时，会涉及到 $\ln(p_{ij})$。为避免 $p_{ij}=0$ 导致 $\ln(p_{ij})$ 无意义，通常约定当 $p_{ij}=0$ 时，其在熵值计算中的贡献项 $p_{ij} \ln p_{ij} = 0$。另一种处理方式是对所有 $z’_{ij}$ 加上一个极小的正数 $\epsilon$ (例如0.0001)，即 ${z’’}_{{ij}} = z’_{ij} + \epsilon$，然后再进行后续计算。但这种平移可能会轻微改变原始数据的相对差异，通常优先采用前一种约定。
计算第 $j$ 项指标下第 $i$ 个对象所占比重 $p_{ij}$ 对于标准化后的矩阵 $Z’$ ，计算第 $i$ 个评价对象在第 $j$ 个指标上的贡献度或比重： $\begin{equation} p_{ij} = \frac{z'_{ij}}{\sum_{k=1}^{n} z'_{kj}} \end{equation}$
计算第 $j$ 项指标的熵值 $e_j$ $\begin{equation} e_j = -k \sum_{i=1}^{n} (p_{ij} \ln p_{ij}) \end{equation}$ 其中，常数 $k = \frac{1}{\ln n}$，$n$ 为评价对象的数量。$k$ 的作用是使得熵值 $e_j$ 规范化到 $[0,1]$ 区间。
计算第 $j$ 项指标的差异程度（信息冗余度） $d_j$ 指标的差异程度 $d_j$ 用 $1$ 减去其信息熵 $e_j$ 得到： $\begin{equation} d_j = 1 - e_j \end{equation}$ $d_j$ 越大，表示第 $j$ 个指标的信息越多，其对于评价的重要性也越大，应赋予更大的权重。
计算第 $j$ 项指标的权重 $w_j$ 将各指标的差异程度进行归一化处理，得到各指标的最终权重： $\begin{equation} w_j = \frac{d_j}{\sum_{k=1}^{m} d_k} \end{equation}$ 其中 $m$ 为指标的数量。确保所有指标权重之和为1，即 $\sum_{j=1}^{m} w_j = 1$。
（可选）基于熵权法的初步综合评价 如果仅使用熵权法进行综合评价（不结合TOPSIS等其他方法），可以直接计算每个评价对象的加权综合得分 $F_i$： $\begin{equation} F_i = \sum_{j=1}^{m} w_j z'_{ij} \end{equation}$ 然而，更常见的做法是将熵权法计算得到的权重 $w_j$ 作为后续多属性决策方法（如TOPSIS）的输入。此时，会构建加权标准化决策矩阵 $V$，其元素 $v_{ij} = w_j z’_{ij}$。这个矩阵 $V$ 是TOPSIS方法的重要起点。 $\begin{equation} V = \left[\begin{array}{cccc} w_1 z'_{11} & w_2 z'_{12} & \cdots & w_m z'_{1m} \\ w_1 z'_{21} & w_2 z'_{22} & \cdots & w_m z'_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ w_1 z'_{n1} & w_2 z'_{n2} & \cdots & w_m z'_{nm} \end{array}\right] \end{equation}$

其python实现如下：

  
# --- 1. 数据预处理 (正向化与Min-Max标准化) ---
def normalize_and_positiveize_data(X, criteria_types, moderate_params=None, epsilon_norm_denominator=1e-9):
    """
    对原始数据进行正向化和Min-Max标准化处理。
    参数:
        X (np.ndarray): 原始数据矩阵 (n_samples, m_features/objectives)
        criteria_types (list of str): 指标类型列表。
            'positive': 正向指标 (越大越好)
            'negative': 负向指标 (越小越好)
            'moderate_point': 适度指标 (越接近某个点越好)
            'moderate_interval': 适度指标 (落在某个区间内最好)
        moderate_params (list, optional): 对应 'moderate_point' 和 'moderate_interval' 的参数。
            - For 'moderate_point': dict {'best_value': float}
            - For 'moderate_interval': dict {'lower_bound': float, 'upper_bound': float}
            - For 'positive'/'negative': None
            长度应与 criteria_types 一致。
        epsilon_norm_denominator (float): 防止Min-Max标准化分母为零的小常数。
    返回:
        np.ndarray: 正向化和标准化后的数据矩阵 Z' (n_samples, m_features), 值域 [0, 1]
    """
    n_samples, m_features = X.shape
    Z_prime = np.zeros_like(X, dtype=float)

    if moderate_params is None:
        moderate_params = [None] * m_features
    if len(criteria_types) != m_features or len(moderate_params) != m_features:
        raise ValueError("criteria_types and moderate_params must have length equal to number of features.")

    for j in range(m_features):
        col_data = X[:, j]
        crit_type = criteria_types[j]
        mod_param = moderate_params[j]

        min_val = np.min(col_data)
        max_val = np.max(col_data)
        range_val = max_val - min_val
        denominator = range_val if range_val > 0 else epsilon_norm_denominator

        if crit_type == 'positive':
            Z_prime[:, j] = (col_data - min_val) / denominator
        elif crit_type == 'negative':
            Z_prime[:, j] = (max_val - col_data) / denominator
        elif crit_type == 'moderate_point':
            if mod_param is None or 'best_value' not in mod_param:
                raise ValueError(f"Missing 'best_value' for moderate_point indicator at column {j}")
            best_val = mod_param['best_value']
            abs_diff = np.abs(col_data - best_val)
            max_abs_diff = np.max(abs_diff)
            if max_abs_diff == 0: # 所有值都等于最佳值
                Z_prime[:, j] = 1.0
            else:
                Z_prime[:, j] = 1 - (abs_diff / max_abs_diff)
        elif crit_type == 'moderate_interval':
            if mod_param is None or 'lower_bound' not in mod_param or 'upper_bound' not in mod_param:
                raise ValueError(f"Missing 'lower_bound' or 'upper_bound' for moderate_interval at col {j}")
            a_j = mod_param['lower_bound']
            b_j = mod_param['upper_bound']
            if a_j > b_j:
                raise ValueError(f"lower_bound > upper_bound for moderate_interval at col {j}")
            m_val_denom = np.max([a_j - min_val, max_val - b_j])
            if m_val_denom <= 0: # All data is within or exactly matches the optimal interval bounds
                                 # or the interval is wider than data range.
                m_val_denom = epsilon_norm_denominator # Effectively makes deviations outside optimal range highly penalized

            for i in range(n_samples):
                x_ij = col_data[i]
                if x_ij < a_j:
                    Z_prime[i, j] = 1 - (a_j - x_ij) / m_val_denom
                elif x_ij > b_j:
                    Z_prime[i, j] = 1 - (x_ij - b_j) / m_val_denom
                else: # a_j <= x_ij <= b_j
                    Z_prime[i, j] = 1.0
            # Clip to [0,1] as per formula structure, though 1-positive/positive should yield this.
            Z_prime[:, j] = np.clip(Z_prime[:, j], 0, 1)
        else:
            raise ValueError(f"Unknown criteria type: {crit_type} at column {j}")
    return Z_prime

def calculate_entropy_weights(Z_prime, zero_pij_treatment='shift', epsilon_p_log=1e-9, calculate_F_scores=False):
    """
    根据标准化后的数据矩阵 Z' 计算熵权。
    提供处理 p_ij = 0 的选项，并可选择计算初步综合评价得分 F_i。

    参数:
        Z_prime (np.ndarray): 正向化和标准化后的数据矩阵 (n_samples, m_features)
                              所有值应在 [0, 1] 区间，且越大越好。
        zero_pij_treatment (str, optional): 处理 p_ij = 0 的方法。默认为 'shift'。
            'shift': 对 Z_prime进行平移 (Z_prime + epsilon_p_log) 来计算 p_ij，
                     旨在避免 p_ij = 0。epsilon_p_log 应大于0。
                     对于 Z_prime 中恒为0的列，此方法将导致其 d_j = 0。
            'lnp_is_zero': 直接用 Z_prime 计算 p_ij。如果 p_ij = 0，则认为 p_ij * ln(p_ij) = 0。
                           对于 Z_prime 中恒为0的列，此方法将导致其 d_j = 1。
                           对于 Z_prime 中恒为正数的列，此方法将导致其 d_j = 0。
        epsilon_p_log (float, optional): 当 zero_pij_treatment='shift' 时，
                                         用于平移 Z_prime 中的值的小常数。默认为 1e-9。
        calculate_F_scores (bool, optional): 是否计算基于熵权法的初步综合评价得分 F_i。
                                             默认为 False。

    返回:
        np.ndarray: 各指标的权重 (m_features,)
        (可选) np.ndarray: 各评价对象的初步综合评价得分 F_i (n_samples,)
                          仅当 calculate_F_scores=True 时返回。
    """
    n_samples, m_features = Z_prime.shape

    # 1. 预处理Z_prime以处理p_ij=0的情况
    if zero_pij_treatment == 'shift':
        Z_prime_proc = Z_prime + epsilon_p_log  # 平移数据避免零值
    elif zero_pij_treatment == 'lnp_is_zero':
        Z_prime_proc = Z_prime  # 直接使用原始数据，零值后续特殊处理
    else:
        raise ValueError("Invalid zero_pij_treatment. Choose 'shift' or 'lnp_is_zero'.")

    # 2. 计算概率矩阵p_ij = z_proc_ij / sum(z_proc_kj)
    col_sums = Z_prime_proc.sum(axis=0, keepdims=True)  # 计算各列和 (1, m_features)
    p_matrix = np.zeros_like(Z_prime_proc, dtype=float)  # 初始化概率矩阵
    
    # 筛选有效列(列和>1e-12的列)，避免除以零
    valid_cols_mask = col_sums[0] > 1e-12  # (m_features,)布尔掩码
    # 仅对有效列计算概率分布
    if np.any(valid_cols_mask):
        p_matrix[:, valid_cols_mask] = Z_prime_proc[:, valid_cols_mask] / col_sums[:, valid_cols_mask]

    # 3. 计算信息熵e_j
    if n_samples == 1:  # 单样本时无法计算熵，返回均匀权重
        weights = np.full(m_features, 1.0 / m_features)
        if calculate_F_scores:
            F_scores = Z_prime @ weights
            return weights, F_scores
        return weights

    k = 1 / np.log(n_samples)  # 熵计算系数

    # 安全计算log(p_matrix)：仅处理p>0的位置，避免log(0)
    log_p_safe = np.zeros_like(p_matrix, dtype=float)
    p_matrix_pos_mask = p_matrix > 0  # 找出p>0的元素位置
    if np.any(p_matrix_pos_mask):
        log_p_safe[p_matrix_pos_mask] = np.log(p_matrix[p_matrix_pos_mask])
    
    # 计算熵项：p_ij * log(p_ij)，p=0时项为0
    entropy_terms = p_matrix * log_p_safe
    entropy_values = -k * np.sum(entropy_terms, axis=0)  # 各列熵值

    # 4. 计算信息效用值d_j
    d_j = 1 - entropy_values  # 差异系数

    # 5. 计算权重
    sum_d_j = np.sum(d_j)
    if sum_d_j < 1e-12:  # 所有差异系数接近零时，均匀赋权
        weights = np.full(m_features, 1.0 / m_features)
    else:
        weights = d_j / sum_d_j  # 归一化权重

    # 6. 可选计算综合得分
    if calculate_F_scores:
        F_scores = Z_prime @ weights  # 使用原始Z_prime计算得分
        return weights, F_scores
    return weights

TOPSIS法

TOPSIS法，全称为“逼近理想解排序法”，是一种常用的多属性决策（MADM）方法。

核心思想： TOPSIS法的核心思想是基于评价对象与“理想解”和“负理想解”的相对接近程度来进行排序。

正理想解 ($V^+$)： 一个虚拟的最佳方案，其每个指标值都达到所有备选方案中的最优水平。
负理想解 ($V^-$)： 一个虚拟的最劣方案，其每个指标值都达到所有备选方案中的最差水平。

通过计算每个评价对象到正理想解和负理想解的（加权）欧氏距离，如果一个评价对象越接近正理想解，同时越远离负理想解，则该对象越优。

与熵权法的结合点：

数据标准化： TOPSIS的第一步通常也是数据正向化和标准化，可以直接采用熵权法步骤2得到的标准化矩阵 $Z’$。
指标权重： TOPSIS在计算距离或构建加权决策矩阵时需要各指标的权重，这可以直接采用熵权法步骤6计算得到的权重向量 $W = [w_1, w_2, \dots, w_m]$。

计算步骤：

构建加权标准化矩阵 $V$ 使用熵权法得到的权重 $w_j$ 和标准化后的数据 $z’_{ij}$，构建加权标准化矩阵 $V$： $\begin{equation} v_{ij} = w_j z'_{ij} \end{equation}$ 矩阵形式如下： $V=\left[\begin{array}{cccc} v_{11} & v_{12} & \cdots & v_{1 m} \\ v_{21} & v_{22} & \cdots & v_{2 m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ v_{n 1} & v_{n 2} & \cdots & v_{n m} \end{array}\right]$
确定正理想解 $V^+$ 和负理想解 $V^-$ 由于所有指标都已正向化（越大越好），正理想解由加权标准化矩阵 $V$ 中每列的最大值构成，负理想解由每列的最小值构成。
- 正理想解 $V^+$： $\begin{equation} V^+ = (V_1^+, V_2^+, \dots, V_m^+) = (\max_i v_{i1}, \max_i v_{i2}, \dots, \max_i v_{im}) \end{equation}$
- 负理想解 $V^-$： $\begin{equation} V^- = (V_1^-, V_2^-, \dots, V_m^-) = (\min_i v_{i1}, \min_i v_{i2}, \dots, \min_i v_{im}) \end{equation}$
计算各评价对象到正、负理想解的距离 通常使用欧氏距离来计算第 $i$ 个评价对象与正理想解 $V^+$ 的距离 $D_i^+$ 和与负理想解 $V^-$ 的距离 $D_i^-$： $\begin{equation} D_i^{+} = \sqrt{\sum_{j=1}^m (v_{ij} - V_j^{+})^2} \end{equation}$ $\begin{equation} D_i^{-} = \sqrt{\sum_{j=1}^m (v_{ij} - V_j^{-})^2} \end{equation}$
计算各评价对象的相对接近度 $C_i$ (也称综合评价值或贴近度) 第 $i$ 个评价对象的相对接近度 $C_i$ 定义为： $\begin{equation} C_i = \frac{D_i^{-}}{D_i^{+} + D_i^{-}} \end{equation}$ $C_i$ 的取值范围为 $[0, 1]$。$C_i$ 越大，表示评价对象 $i$ 越接近正理想解且越远离负理想解，因此其综合评价越优。根据 $C_i$ 的值对所有评价对象进行排序，即可得到方案的优劣次序。

其python实现如下：

  
def apply_topsis_on_normalized_data(Z_prime, weights):
    """
    在已正向化和标准化的数据上应用TOPSIS方法。
    参数:
        Z_prime (np.ndarray): 正向化和标准化后的数据矩阵 (n_samples, m_features)
                               (即熵权法中使用的 Z' 矩阵)
        weights (np.ndarray): 各指标的权重 (m_features,)
    返回:
        np.ndarray: 各方案的相对贴近度 C_i
        np.ndarray: 各方案的排名 (1是最好)
    """
    n_samples, m_features = Z_prime.shape

    # 1. 构建加权标准化矩阵
    V = Z_prime * weights  # 逐列乘以权重

    # 2. 确定正负理想解
    V_plus = np.max(V, axis=0)  # 每列最大值构成正理想解
    V_minus = np.min(V, axis=0)  # 每列最小值构成负理想解

    # 3. 计算欧氏距离
    D_plus = np.sqrt(np.sum((V - V_plus)**2, axis=1)  # 到正理想解的距离
    D_minus = np.sqrt(np.sum((V - V_minus)**2, axis=1) ) # 到负理想解的距离

    # 4. 计算相对贴近度（添加极小值处理除零异常）
    sum_D = D_plus + D_minus
    relative_closeness = np.zeros(n_samples)
    for i in range(n_samples):
        if sum_D[i] == 0:  # 极端情况处理
            if D_plus[i] == 0 and D_minus[i] == 0:
                relative_closeness[i] = 0.5  # 同时为最优最劣时的折中值
            elif D_plus[i] == 0:
                relative_closeness[i] = 1.0  # 完全匹配正理想解
            elif D_minus[i] == 0:
                relative_closeness[i] = 0.0  # 完全匹配负理想解
        else:
            relative_closeness[i] = D_minus[i] / sum_D[i]

    # 5. 生成排名
    sorted_indices = np.argsort(-relative_closeness)  # 降序排列索引
    ranks = np.empty_like(sorted_indices)
    ranks[sorted_indices] = np.arange(1, n_samples + 1)  # 赋予排名

    return relative_closeness, ranks

熵权法 + TOPSIS 结合应用

熵权法与TOPSIS法的结合应用展现出独特的优势：

熵权法优势：提供客观的指标权重计算方法，避免主观赋权可能带来的偏差，使评价结果更具科学性。
TOPSIS法优势：构建了系统化的多方案评价框架，通过与理想解的距离度量实现方案的科学排序。

在实际应用中，首先运用熵权法计算得到各指标的客观权重，然后将这些权重作为TOPSIS法的输入参数，对评价对象进行系统性分析和排序。这种结合不仅保证了权重确定的客观性，也确保了最终评价结果的可靠性。

论文中存在的不同做法：

最常见做法：
- 先用熵权法计算出权重 $w_j$。
- 然后用 $w_j$ 和标准化数据 $z’_{ij}$ 构建加权标准化矩阵 $V = (w_j z’_{ij})$。
- 基于 $V$ 确定正负理想解 $V^+, V^-$。
- 计算各方案到 $V^+, V^-$ 的距离（此时距离公式中不再显式出现 $w_j$，因为它已包含在 $v_{ij}$ 中）。
- 这是逻辑最清晰、应用最广泛的方式。
权重在距离计算中体现：
- 先对原始数据进行标准化处理得到 $Z’$。
- 基于标准化矩阵 $Z’$ 确定正理想解 $Z’^+$ 和负理想解 $Z’^-$。
- 在计算各方案到 $Z’^+, Z’^-$ 的距离时，引入熵权法得到的权重 $w_j$： $\begin{equation} \begin{aligned} D_i^{+} & =\sqrt{\sum_{j=1}^m w_j (z'_{ij} - Z_j'^{+})^2} \\ D_i^{-} & =\sqrt{\sum_{j=1}^m w_j (z'_{ij} - Z_j'^{-})^2} \end{aligned} \end{equation}$
  这种方法在数学上与第一种方法中的距离计算有所不同（例如，如果 $w_j$ 是比例，那么第一种方法的 $V_j^+$ 是 $\max(w_j z’_{ij})$，而第二种方法的 $Z_j’^+$ 是 $\max(z’_{ij})$）。通常认为第一种方法更为标准，因为它在构建理想解时就考虑了权重的影响。但这种加权欧氏距离也是一种有效的方式。
权重在两处均使用：
- 先构建 $V=({w_j} z^{\prime}_{{ij}})$，然后确定 $V^+, V^-$，之后计算距离时再用 $D_i^{+} =\sqrt{\sum_{j=1}^m w_j (v_{ij} - V_j^{+})^2}$。这种做法相当于权重被应用了两次（一次在 $v_{ij}$ 中，一次在距离公式的 $w_j$ 中），可能会导致权重的过度放大或不合理解释，除非有特殊的理论依据（例如，外部的 $w_j$ 可能是 $w_j$ 的某个函数，如 $w_j^2$）。一般不推荐这种重复加权。

总结

基于熵权法-TOPSIS的多目标优化决策分析方法，通过熵权法客观确定指标权重，再结合TOPSIS法对方案进行排序，是一种实用且有效的决策支持工具。它能够较好地处理具有多个评价指标的复杂决策问题，结果相对客观、科学。

优势：

客观性强： 熵权法赋权完全依赖于数据本身，排除了主观因素。
综合性好： TOPSIS法同时考虑了与最优和最劣方案的距离，能全面反映方案的综合表现。
原理简单，易于理解和实现： 计算过程相对直观，便于编程实现和应用。

局限性与注意事项：

熵权法的敏感性： 当样本数据量较少或数据波动性不大时，熵权法计算的权重可能不够稳定或区分度不高。
TOPSIS法的排序稳定性： 与某些多属性决策方法类似，TOPSIS在增加或删除备选方案时，可能会出现排序逆转的现象（尽管其稳定性相对较好）。
指标独立性假设： 传统熵权法和TOPSIS法通常假设指标之间是相互独立的，未充分考虑指标间的相关性。
对极端值敏感： 标准化过程中的最大最小值易受极端数据点影响。

展望： 未来可以探索熵权法-TOPSIS与其他方法的进一步融合，例如：

结合主观赋权法（如AHP）与熵权法，形成组合权重，兼顾专家经验与数据客观性。
改进TOPSIS法，如考虑不同距离度量、引入前景理论等，以适应更复杂的决策场景。
研究处理指标相关性的方法，如结合主成分分析（PCA）或灰色关联分析（GRA）等。

Multi-Objective Optimization, Decision Analysis

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熵权法

TOPSIS法

熵权法 + TOPSIS 结合应用

总结

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